Question

已知：△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是.

试题分析：（1）连接OE，得到∠OEB =60°,从而OE∥AC.，根据平行线的性质即可得到直线EF是⊙O的切线；
（2）连接DF,DE.构造直角三角形，解直角三角形即可。
试题解析：（1）连接OE
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=60°.

∵OB="OE,"
∴∠OEB=∠C =60°,
∴OE∥AC.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°.
∴∠OEF=∠EFC=90°.
∴OE⊥EF,
∵⊙O与BC边相交于点E,
∴E点在圆上.
∴EF是⊙O的切线；
(2)连接DF,DE.
∵DF是⊙O的切线,
∴∠ADF=∠BDF=90°
设⊙O的半径为r,则BD=2r,
∵AB=4,
∴AD=4-2r,
∵BD=2r,∠B=60°,
∴DE=r,
∵∠BDE=30°,∠BDF="90°."
∴∠EDF=60°,
∵DF、EF分别是⊙O的切线,
∴DF=EF=DE=r,
在Rt△ADF中,
∵∠A=60°,
∴tan∠DFA= 
解得.
∴⊙O的半径是