(已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE。
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;
(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由。
(1)见解析;(2)24cm;(3)存在,过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点,证明见解析.
解析试题分析:(1)由四边形ABCD是矩形与折叠的性质,易证得△AOE≌△COF,即可得AE=CF,则可证得四边形AFCE是平行四边形,又由AC⊥EF,则可证得四边形AFCE是菱形;
由已知可得:S△ABF=AB•BF=24cm2,则可得AB2+BF2=(AB+BF)2-2AB•BF=(AB+BF)2-2×48=AF2=100(cm2),则可求得AB+BF的值,继而求得△ABF的周长.
过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点,首先证明四边形AFCE是菱形,然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP,列出关系式.
试题解析:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,
由折叠的性质可得:OA=OC,AC⊥EF,
在△AOE和△COF中,
∵ ,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形;
(2)∵四边形AFCE是菱形,
∴AF=AE=10cm,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴S△ABF=AB•BF=24cm2,
∴AB•BF=48(cm2),
∴AB2+BF2=(AB+BF)2-2AB•BF=(AB+BF)2-2×48=AF2=100(cm2),
∴AB+BF=14(cm)
∴△ABF的周长为:AB+BF+AF=14+10=24(cm).
(3)证明:过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点.
当顶点A与C重合时,折痕EF垂直平分AC,
∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,
∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形.
∴∠AOE=90°,又∠EAO=∠EAP,
由作法得∠AEP=90°,
∴△AOE∽△AEP,
∴,则AE2=A0•AP,
∵四边形AFCE是菱形,
∴AO=AC,
∴AE2=AC•AP,
∴2AE2=AC•AP.
考点:1.翻折变换(折叠问题);2.菱形的判定;3.矩形的性质.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题:
(1)如图1,将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.
①比较大小:PC______PD. (选择“>”或“<”或“=”填空);
②证明①中的结论.
(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OA交于点C,且OC=1,另一直角边与直线OB,直线OA分别交于点D,E,当以P,C,E为顶点的三角形与△OCD相似时,试求的长.(提示:请先在备用图中画出相应的图形,再求的长).
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10.一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A、D不重合),一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点E.
(1)证明△DPC∽△AEP;
(2)当∠CPD=30°时,求AE的长;
(3)是否存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周长的倍?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,直角△ABC中,∠C=90°,AB=2,sinB=,点P为边BC上一动点,PD∥AB,PD交AC于点D,连结AP.
(1)求、的长;
(2)设的长为,的面积为.当为何值时,最大并求出最大值.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示,将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示,观察图2可知:与BC相等的线段是______,∠CAC′=______°。
问题探究:如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q,试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.,
拓展延伸:如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H,若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由。
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如图所示,图中的小方格都是边长为1的正方形,△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心点O;
(2)直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比;
(3)以位似中心O为坐标原点,以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″,并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(0,4),C(2,0).将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135º,得到矩形EFGH(点E与O重合).
(1)若GH交y轴于点M,则∠FOM= ,OM= .
(2)将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位.
①直线GH与x轴交于点D,若AD∥BO,求t的值;
②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位,试求当0<t≤4-2时,S与t之间的函数关系式.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的边长为AO=6,AC=8,
(1)如图①,E是OB的中点,将△AOE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形AOBC内部,延长AF交BC于点G.求点G的坐标;
(2)定义:若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点,这样的圆叫做黄金圆.如图②,动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动,同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动;求:当 PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标.
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