Question

7．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是AB、CB上的点，MN=4，以MN为直径做半圆，点P为半圆弧中点，点M从点A开给滑动，到点B停止，在这个运动过程中，点P的运动路径长是（　　）

• A． 2π
• B． 4-2$\sqrt{2}$
• C． 8-4$\sqrt{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 根据图形的运动的轨迹得出：点P的运动路径是两个PP′的长，根据正方形的边长为4，得OB=2，则BP=2$\sqrt{2}$，由图1可知：四边形MBNP′是矩形，则对角线NN=BP′=4，可以求PP′的长．

解答 解：在这个运动过程中，点P的运动路径分两个阶段：
①点M从A点开始运动到此时的M时，如图1，中点P经过的路线为从P到P′的长，即PP′的长，
∵△BOP′是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴OB=OP=2，
∴BP=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵P为半圆弧的中点，MN为半圆的直径，
∴MN=BP′=4，
∴PP′=BP′-BP=4-2$\sqrt{2}$；
②当点M继续运动到点B时，如图2，中点P经过的路线为从P′到P的路线长，即也是PP′的长，
综上所述，点P的运动路径长是：2（4-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{2}$；
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质、动点的运动轨迹、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，利用数形结合的思想，得出P的运动路线是两个PP′的长是本题的关键．