Question

如图1，抛物线y=ax²-4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB=OC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知：抛物线的对称轴为：x=1，则B（3，0）；
已知OB=OC=3，则C（0，-3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：
a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x²+4x-3．

（2）设AE交y轴于点F；
易证得△FOA∽△FEC，有，
设OF=x，则EF=3x，
所以FA=3x-1；
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
（3x-1）²=x²+1，
解得x=；
即OF=，F（0，）；
求得直线AE为y=-x+，联立抛物线的解析式得：
，
解得，；
故点P（）．

（3）∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC：y=x-3；
设点M（a，a-3），则：
①当点M在第一象限时，OG=a，MG=a-3；
过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；
根据旋转的性质知：∠MON=90°，OM=ON，
则可证得△MOG≌△NOH，得：
OG=NH=a，OH=MG=a-3，
故N（a-3，-a），
将其代入抛物线的解析式中，得：
-（a-3）²+4（a-3）-3=-a，
整理得：a²-11a+24=0，
a=3（舍去），a=8；
故M（8，5），N（5，-8）．
②当点M在第三象限时，OG=-a，MG=3-a；
同①可得：MG=OH=3-a，OG=NH=-a，则N（3-a，a），代入抛物线的解析式可得：
-（3-a）²+4（3-a）-3=a，
整理得：a²-a=0，故a=0，a=1；
由于点M在第三象限，
所以a＜0，
故a=0、a=1均不合题意，此种情况不成立；
③当点M在第四象限时，OG=a，MG=3-a；
同①得：N（3-a，a），在②中已经求得此时a=0（舍去），a=1；
故M（1，-2），N（2，1）；
综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，-8）．
分析：（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．
（3）此题应分三种情况讨论：
①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；
②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的坐标意义等知识．需要注意的是（3）题中，由于点M的位置不确定，一定要根据点M所处的不同象限分类讨论，以免漏解．