Question

点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连接OA并延长，与双曲线交于点F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH、PF．

（1）如图①，当点A的横坐标为时，求四边形APFH的面积．
（2）如图②，当点P在x轴的正方向上运动到点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO并延长，与双曲线交于点F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接BH、DF，求四边形BDFH的面积．
（3）若双曲线的解析式为，四边形BDFH的面积为______．（直接写出答案）

Answer 1

解：（1）如图①，根据反比例函数图象的性质知道A、F关于原点对称，
而FH垂直于x轴，AP⊥x轴，
∴H、P关于原点对称，
∴四边形APFH的面积是△APO的四倍，
设A的坐标为（x，y）（x＞0，y＞0），
则xy=1，
而△APO的面积=xy=，
∴四边形APFH的面积是4×=2；

（2）如图②，当点P在x轴的正方向上运动到点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO并延长，与双曲线交于点F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接BH、DF，
那么同样得B、F关于原点对称，D、H 关于原点对称，
∴四边形BDFH的面积是△OBD的面积的4倍，
而△OBD的面积同样为，
∴四边形BDFH的面积是2；

（3）若双曲线的解析式为，四边形BDFH的面积为2|k|．
故答案为：2|k|．
分析：（1）如图①，根据反比例函数图象的性质知道A、F关于原点对称，而FH垂直于x轴，AP⊥x轴，由此得到H、P关于原点对称，这样就可以得到四边形APFH的面积是△APO的四倍，而△APO的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半，由此即可解决问题；
（2）思路和（1）完全一样；
（3）思路和（1）完全一样．
点评：此题主要考查了反比例函数图象和性质，解题的关键 是利用函数图象的性质求出三角形的面积，然后利用三角形和四边形的关系求出四边形的面积解决问题．