Question

18．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²=31+|x₁x₂|，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）²-4（m²+2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2m+3，x₁x₂=m²+2，再变形已知条件得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=31+|x₁x₂|，代入即可得到结果．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）²-4（m²+2）≥0，
∴m≥-$\frac{1}{12}$；

（2）根据题意得x₁+x₂=2m+3，x₁x₂=m²+2，
∵x₁²+x₂²=31+|x₁x₂|，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=31+|x₁x₂|，
即（2m+3）²-2（m²+2）=31+m²+2，
解得m=2，m=-14（舍去），
∴m=2．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．