Question

已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点(与A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B#C不重合)

(1)如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；

(2)当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 　　∴AB＝10； 　　∵Q是BC的中点， 　　∴CQ＝QB； 　　又∵PQ∥AC， 　　∴AP＝PB，即P是AB的中点， 　　∴Rt△ABC中，CP＝AB＝5．　　(2)当AC与PQ不平行时， 　　只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形． 　　以CQ为直径作半圆D， 　　①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM， 　　则DM⊥AB，且AC＝AM＝6， 　　∴MB＝AB－AM＝10－6＝4； 　　设CD＝x，则DM＝x，DB＝8－x； 　　在Rt△DMB中，DB2＝DM2＋MB2， 　　即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3， 　　∴CQ＝2x＝6； 　　即当CQ＝6且点P运动到切点M位置时， 　　△CPQ为直角三角形． 　　②当6＜CQ＜8时，半圆D与直线AB有两个交点， 　　当点P运动到这两个交点的位置时， 　　△CPQ为直角三角形 　　③当0＜CQ＜6时，半圆D与直线AB相离， 　　即点P在AB边上运动时，均在半圆D外， 　　∠CPQ＜90°， 　　此时△CPQ不可能为直角三角形． 　　∴当6≤CQ＜8时，△CPQ可能为直角三角形．