Question

如图，y=

3

x

与直线y=-x+m交于C、D两点，直线y=-x+m与坐标轴交于A、B两点，则AC•AD=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：作CE⊥y轴，DF⊥y轴，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出OA=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，得到∠FAD=45°，联立直线与反比例解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出EC•DF的值，在直角三角形AEC和直角三角形AFD中，利用锐角三角函数定义表示出AC与AD，即可求出AD•AD的值．

解答：解：作CE⊥y轴，DF⊥y轴，
对于一次函数y=-x+m，
令x=0，得到y=m；令y=0，得到x=m，即OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，且∠FAD=45°，
联立得：

y= 3 x y=-x+m

，
消去y得：

3

x

=-x+m，
整理得：x²-mx+3=0，
设C、D横坐标分别为x₁，x₂，即方程的两根分别为x₁，x₂，
∴x₁x₂=3，即EC•DF=3，
在Rt△ACE中，sin∠EAC=

EC

AC

，即AC=

EC

sin∠EAC

，
在Rt△AFD中，sin∠FAD=

FD

AD

，即AD=

DF

sin∠FAD

，
∴AC•AD=

EC•DF

sin2∠FAD

=6．
故答案为：6．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．