Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（E点和F点可以与A、B、C重合）以下结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S?_AEPF=

1

2

S_△ABC；④EF最长等于

2

AP．上述结论中正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=PC=PB，∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
∴∠APB=∠APC=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE=∠CPF=90°-∠APF，
在△AEP和△CFP中

∠PAE=∠C=45° AP=CP ∠APE=∠CPF

∴△AEP≌△CFP，
同理△APF≌△BPE，
∴AE=CF，PE=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴S_△AEP=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF
=S_△CPF+S_△APF
=S_△APC
=

1

2

S_△ABC，
当E和A重合，F和C重合时，EF最长，此时EF=AC=

AP2+CP2

=

2

AP，
∴①②③④都正确，
即正确的有4个，
故选D．

点评：本题考查了全等三角形性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．