Question

1．如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若OC=CE，BF=$2\sqrt{2}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）证明：连接OF，根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B=180°，由于∠AEF=135°，得出∠B=45°，于是得到∠AOF=2∠B=90°，由DF切⊙O于F，得到∠DFO=90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO=90°，于是结论可得；
（2）过E作EM⊥BF于M，由四边形DCOF是矩形，得到OF=DC=OA，由于OC=CE，推出AC=DE，设DE=x，则AC=x，在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2$\sqrt{2}$，由勾股定理得：OF=OB=2，则AB=4，BC=4-x，由于AC=DE，OCDF=CE，由勾股定理得：AE=EF，通过Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，问题可得．

解答 （1）证明：连接OF，
∵A、E、F、B四点共圆，
∴∠AEF+∠B=180°，
∵∠AEF=135°，
∴∠B=45°，
∴∠AOF=2∠B=90°，
∵DF切⊙O于F，
∴∠DFO=90°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCO=90°，
即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，
∴四边形DCOF是矩形，
∴DF∥AB；

（2）解：过E作EM⊥BF于M，
∵四边形DCOF是矩形，
∴OF=DC=OA，
∵OC=CE，
∴AC=DE，
设DE=x，则AC=x，
∵在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2$\sqrt{2}$，由勾股定理得：OF=OB=2，
则AB=4，BC=4-x，
∵AC=DE，OCDF=CE，
∴由勾股定理得：AE=EF，
∴∠ABE=∠FBE，
∵EC⊥AB，EM⊥BF
∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，
在Rt△ECA和Rt△EMF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{EC=EM}\end{array}\right.$
∴Rt△ECA≌Rt△EMF，
∴AC=MF=DE=x，
在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，
∴BF=BM-MF=BC-MF=4-x-x=2$\sqrt{2}$，
解得：x=2-$\sqrt{2}$，
即DE=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，矩形的性质和判定的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．