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(2013•澄海区模拟)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …,这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16…,这样的数称为“正方形数”.
(1)第5个三角形数是
15
15
,第n个“三角形数”是
n(n+1)
2
n(n+1)
2
,第5个“正方形数”是
25
25
,第n个正方形数是
n2
n2

(2)经探究我们发现:任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
例如:①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10,④
25=10+15
25=10+15
,⑤
36=15+21
36=15+21
,….
请写出上面第4个和第5个等式;
(3)在(2)中,请探究第n个等式,并证明你的结论.
分析:(1)观察发现,第5个三角形数等于第4个三角形数加上5,即为15,第n个“三角形数”等于第(n-1)个“三角形数”加上n,即为1+2+3+…+n,计算即可;第5个“正方形数”是52,第n个正方形数是n2
(2)根据①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10即可得出第4个等式为第5个三角形数等于第4个三角形数加上第5个三角形数,第5个等式为第6个三角形数等于第5个三角形数加上第6个三角形数;
(3)第n个等式为第(n+1)个“三角形数”等于第n个“三角形数”加上第(n+1)个“三角形数”.
解答:解:(1)15,
n(n+1)
2
,25,n2

(2)25=10+15,36=15+21;

(3)(n+1)2=
n(n+1)
2
+
(n+1)(n+2)
2

∵右边=
n2+n
2
+
n2+3n+2
2

=
2n2+4n+2
2

=n2+2n+1=(n+1)2=左边,
∴原等式成立.
故答案为15,
n(n+1)
2
,25,n2;25=10+15,36=15+21.
点评:本题考查了整式的混合运算及规律型:数字的变化类,首先要观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律,再根据规律解题.
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3×105
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(20-x)
(20-x)
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