Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB=

4

5

，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q．
（1）求AG的长；
（2）当∠APQ=90°时，直线PG与边BC相交于点M．求

AQ

MQ

的值；
（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=

1

2

BC，AD⊥BC，再根据sinB=

AD

AB

=

4

5

，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；
（2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD-DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出

AQ

MQ

的值；
（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出

AP

BP

=

AG

BE

，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域．

解答：解：（1）在△ABC中，
∵AB=AC，点G是△ABC的重心，
∴BD=DC=

1

2

BC，
∴AD⊥BC．
在Rt△ADB中，
∵sinB=

AD

AB

=

4

5

，
∴

BD

AB

=

3

5

．
∵BC-AB=3，
∴AB=15，BC=18．
∴AD=12．
∵G是△ABC的重心，
∴AG=

2

3

AD=8．
（2）在Rt△MDG，
∵∠GMD+∠MGD=90°，
同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B=90°，
∴∠MGD=∠B．
∴sin∠MGD=sinB=

4

5

，
在Rt△MDG中，∵DG=

1

3

AD=4，
∴DM=

16

3

，
∴CM=CD-DM=

11

3

，
在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠QCM=∠CDA+∠DAC=90°+∠DAC，
又∵∠QGA=∠APQ+∠BAD=90°+∠BAD，
∴∠QCM=∠QGA，
又∵∠CQM=∠GQA，
∴△QCM∽△QGA．
∴

AQ

MQ

=

AG

MC

=

24

11

．
（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF．
∵BE∥AD，∴

AP

BP

=

AG

BE

，即

15-x

x

=

8

BE

，
∴BE=

8x

15-x

．
同理可得：

AQ

QC

=

AG

CF

，即

y

15-y

=

8

CF

，
∴CF=

8(15-y)

y

．
∵BE∥AD∥CF，BD=CD，
∴EG=FG．
∴CF+BE=2GD，即

8(15-y)

y

+

8x

15-x

=8，
∴y=

75-5x

10-x

，（0≤x≤

15

2

）．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是重心、特殊角的三角函数值、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等，关键是根据题意，画出图形，做出辅助线，构造直角三角形是本题的关键．