Question

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（1，0），B （0，5）两点，该抛物线与x轴的另一交点为C．
（1）求这个抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点D，其横坐标为m，设由A、B、C、D组成的四边形的面积为S．试求S与m的函数关系式，并说明m为何值时，S最大；
（3）P是线段OC上的一动点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（1，0），B （0，5）两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=-x²-4x+5，
令y=0，则-x²-4x+5=0，
解得x₁=1，x₂=-5，
∴点C的坐标为（-5，0）；


（2）①如图1，点D在y轴左边时，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点D的横坐标为m，
∴DE=-m²-4m+5，OE=-m，CE=m-（-5）=m+5，
∴S=S_△CDE+S_梯形BDOE+S_△AOB，
=CE•DE+（DE+OB）•OE+AO•BO，
=（m+5）×（-m²-4m+5）+（-m²-4m+5+5）×（-m）+×1×5，
=×5（-m²-4m+5）-×5m+×5，
=-（m²+5m）+15，
=-（m²+5m+）+×+15，
=-（m+）²+，
即S=-（m+）²+（-5＜m＜0），
所以，当m=-时，S有最大值，最大值为；
②如图2，点D在y轴右边时，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点D的横坐标为m，
∴DE=-m²-4m+5，OE=m，AE=1-m，
S=S_△BOC+S_梯形BOED+S_△ADE，
=OC•OB+（DE+OB）•OE+AE•DE，
=×5×5+（-m²-4m+5+5）×m+（1-m）×（-m²-4m+5），
=×25+×5m+（-m²-4m+5），
=-（m²-m）+15，
=-（m²-m+）++15，
=-（m-）²+，
即S=-（m-）²+（0＜m＜1），
所以，当m=时，S有最大值，最大值为，
∵＞，
∴当m=-时，S有最大值，最大值为；

（3）如图，∵B （0，5），C（-5，0），
∴设直线BC的解析式为y=kx+n，则，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x+5，
设点P的坐标为（x，0），PH与BC相交于点F，
则PF=x-（-5）=x+5，PH=-x²-4x+5，
∴HF=PH-PF=-x²-4x+5-x-5=-x²-5x，
∵直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，
∴HF：PF=2：3或PF：HF=2：3，
即（-x²-5x）：（x+5）=2：3或（x+5）：（-x²-5x）=2：3，
整理得，2x²+13x+15=0或3x²+17x+10=0，
解得x₁=-，x₂=-5（舍去）或x₃=-，x₄=-5（舍去），
所以，点P的坐标为（-，0）或（-，0）．
分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解关于b、c的方程组求出b、c的值即可得到抛物线解析式，令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；
（2）①分点D在y轴左边时，过点D作DE⊥x轴于点E，再用m表示出DE、CE、OE的长度，然后根据S=S_△CDE+S_梯形BDOE+S_△AOB，利用三角形的面积公式与梯形的面积公式列式整理即可；②点D在y轴右边时，过点D作DE⊥x轴于点E，再用m表示出DE、OE、AE的长度，然后根据S=S_△BOC+S_梯形BOED+S_△ADE，利用三角形的面积公式与梯形的面积公式列式整理即可，根据x的取值范围结合二次函数的最值问题分别求出S的最大值，然后即可得解；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，设PH与BC相交于点F，点P的坐标为（x，0）然后表示出PF、HF的长度，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，分HF：PF=2：3，PF：HF=2：3两种情况分别列式进行计算即可得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，求不规则图形的面积，等高的三角形的面积的比等于底边的比的性质，分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，且运算量非常大，需仔细分析并认真计算．