Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
故可得：EF=AC，同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，
在梯形ABCD中，AB=DC， 故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
设AC与EH交于点M， 在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD， 同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠EHG=∠EMC=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG． 在梯形ABCD中，
∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴EG=（AD+BC）=3．
在Rt△EHG中，
∵EH²+GH²=EG²，EH=GH，
∴EH²=，
即四边形EFGH的面积为．