Question

如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC=-m²+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0＜m＜3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m²-3m，OC=

2

m，分为三种情况：①当OC=PC时，m2-3m=

2

m，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC=OP时，③当PC=OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．

解答：解：（1）设y=ax（x-4），
把A点坐标（3，3）代入得：
a=-1，
函数的解析式为y=-x²+4x，
答：二次函数的解析式是y=-x²+4x．

（2）解：0＜m＜3，PC=PD-CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x²+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，-m²+4m），C（m，m）
∴PC=PD-CD=-m²+4m-m=-m²+3m，
=-(m-

3

2

)2+

9

4

，
∵-1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（

3

2

，0）时，PC_max=

9

4

，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是

9

4

．

（3）当0＜m＜3时，仅有OC=PC，
∴-m2+3m=

2

m，
解得m=3-

2

，
∴P(3-

2

，1+2

2

)；
当m≥3时，PC=CD-PD=m²-3m，
OC=

2

m，
由勾股定理得：OP²=OD²+DP²=m²+m²（m-4）²，
①当OC=PC时，m2-3m=

2

m，
解得：m=3+

2

或m=0（舍去），
∴P(3+

2

，1-2

2

)；
②当OC=OP时，(

2

m)2=m2+m2(m-4)2，
解得：m₁=5，m₂=3，
∵m=3时，P和A重合，即P和C重合，不能组成三角形POC，
∴m=3舍去，
∴P（5，-5）；
③当PC=OP时，m²（m-3）²=m²+m²（m-4）²，
解得：m=4，
∴P（4，0），
答：存在，P的坐标是（3-

2

，1+2

2

）或（3+

2

，1-2

2

）或（5，-5）或（4，0）．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度．