练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2013•呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（-2，0）和点C（0，-8）．
    （1）求该二次函数的解析式；
    （2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为
    （
    6
    7
    ，0）
    （
    6
    7
    ，0）
    ；
    （3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．
    ①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
    ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    ③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．
    分析：（1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即可；
    （2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点C关于x轴的对称点的坐标C′，从而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点坐标即可；
    （3）（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
    ②本题要分三种情况进行讨论：
    当Q在OC上，P在OA上，即当0≤t≤1时，此时S=
    1
    2
    OP•OQ，由此可得出关于S，t的函数关系式；
    当Q在CA上，P在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=
    1
    2
    OP×Q点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
    当Q，P都在CA上时，即当2＜t＜
    24
    11
    相遇时用的时间，此时S=S△AOQ-S△AOP，由此可得出S，t的函数关系式；
    综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
    ③根据②的函数即可得出S的最大值．
    解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x-6）
    ∵图象过点（0，-8）
    ∴a=
    2
    3

    ∴二次函数的解析式为y=
    2
    3
    x2-
    8
    3
    x-8；

    （2）∵y=
    2
    3
    x2-
    8
    3
    x-8=
    2
    3
    （x2-4x+4-4）-8=
    2
    3
    （x-2）2-
    32
    3

    ∴点M的坐标为（2，-
    32
    3
    ）
    ∵点C的坐标为（0，-8），
    ∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）
    ∴直线C′M的解析式为：y=-
    28
    3
    x+8
    令y=0
    得-
    28
    3
    x+8=0
    解得：x=
    6
    7

    ∴点K的坐标为（
    6
    7
    ，0）；

    （3）①不存在PQ∥OC，
    若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，
    此时，1＜t＜2
    ∵PQ∥OC，
    ∴△APQ∽△AOC
    ∴
    AP
    AO
    =
    AQ
    AC

    ∵AP=6-3t
    AQ=18-8t，
    ∴
    6-3t
    6
    =
    18-8t
    10


    ∴t=
    8
    3

    ∵t=
    8
    3
    ＞2不满足1＜t＜2；
    ∴不存在PQ∥OC；
    ②分情况讨论如下，
    情况1：0≤t≤1
    S=
    1
    2
    OP•OQ=
    1
    2
    ×3t×8t=12t2；
    情况2：1＜t≤2
    作QE⊥OA，垂足为E，
    S=
    1
    2
    OP•EQ=
    1
    2
    ×3t×
    72-32t
    5
    =-
    48
    5
    t2    +
    108
    5
    t
    情况3：2＜t＜
    24
    11

    作OF⊥AC，垂足为F，则OF=
    24
    5

    S=
    1
    2
    QP•OF=
    1
    2
    ×（24-11t）×
    24
    5
    =-
    132
    5
    t    +
    288
    5
    ；
    ③当0≤t≤1时，S=12t2，函数的最大值是12；
    当1＜t≤2时，S=-
    48
    5
    t2    +
    108
    5
    t    ，函数的最大值是
    243
    20
    ；
    当2＜t＜
    24
    11
    ，S=
    1
    2
    QP•OF=-
    132
    5
    t    +
    288
    5
    ，函数的最大值为
    24
    5
    ；
    ∴S0的值为
    243
    20
    ．
    点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产
    200
    200
    台机器．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为
    （0，12）或（0，-12）
    （0，12）或（0，-12）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•呼和浩特）（1）计算：(
    1
    3
    )-1-|-2+
    		3
    tan45°|+(
    		2
    -1.41)0
    （2）化简：(a-
    1
    a
    )÷
    a2-2a+1
    a
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•呼和浩特）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•呼和浩特）某区八年级有3000名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了200名学生的得分进行统计．
    请你根据不完整的表格，回答下列问题：
    成绩x（分） 频数 频率
    50≤x＜60 10
    0.05
    0.05
    60≤x＜70 16 0.08
    70≤x＜80
    40
    40
    		 0.2
    80≤x＜90 62
    0.31
    0.31
    90≤x＜100 72 0.36
    （1）补全频数分布直方图；
    （2）若将得分转化为等级，规定50≤x＜60评为“D”，60≤x＜70评为“C”，70≤x＜90评为“B”，90≤x＜100评为“A”．这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“D”？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩等级哪一个等级的可能性大？请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案