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    如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.

    (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直

    线ON是否平分∠AOC？请说明理由；

    (2) 若∠BOC=120°.

    ①将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为           （直接写出结果）；

    ②将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：

    ∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

     

    【答案】

    （1）已知∠AOC=60°，

    ∴∠BOC=120°，

    又OM平分∠BOC，

    ∠COM=∠BOC=60°，

    ∴∠CON=∠COM+90°=150°；

    （2）延长NO，

    ∵∠BOC=120°

    ∴∠AOC=60°，

    当直线ON恰好平分锐角∠AOC，

    ∴∠AOD=∠COD=30°，

    即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，

    由题意得，10t=300°

    ∴t=30，

    当NO平分∠AOC，

    ∴∠NOR=30°，

    即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，

    ∴10t=120°，

    ∴t=12，

    ∴t=12或30；

    （3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

    ∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

    ∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，

    所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．

    【解析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；

    （2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；

    （3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

     

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    （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
    （2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为
    10或40
    （直接写出结果）．
    （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM-∠NOC的度数．

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    如图1，抛物线y=ax2-4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB=OC．
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    （1）求抛物线的解析式；
    （2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；
    （3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

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    （2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=
    4
    5
    ，反比例函数y=
    k
    x
    （k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
    （1）若OA=10，求反比例函数解析式；
    （2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
    （3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，抛物线y=ax2+4x+b经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C；
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；
    （3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），在抛物线上是否存在这样的点N，使三点O，M，N构成以O为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
    （1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为
    90
    90
    度；
    （2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
    （3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．

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