Question

10．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜x_A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b-ac=4； ④3a-c＜0．其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据抛物线的开口向下即可得出a＜0，再根据抛物线的对称轴在x=1和x=2之间即可得出b＞-2a，①正确；②由b＞-2a可得出b＞0，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出c＜0，由此即可得出abc＞0，②错误；③根据求根公式表示出点A的横坐标，结合OC=2OA即可得出2b-ac=4，③正确；④根据抛物线的对称轴1＜-$\frac{b}{2a}$＜2可得出-2a＜b＜-4a，再由当x=1时y＞0即可得出a+b+c＞0，进而即可得出3a-c＜0，④正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴-$\frac{b}{2a}$＞1，
∴b＞-2a，即2a+b＞0，①成立；
②∵b＞-2a，a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②错误；
③点A的横坐标为$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，点C的纵坐标为c，
∵OC=2OA，
∴-c=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$，整理得：2b-ac=4，③成立；
④∵抛物线的对称轴1＜-$\frac{b}{2a}$＜2，
∴-2a＜b＜-4a，
∵当x=1时，y=a+b+c＞0，
∴a-4a+c＞0，即3a-c＜0，④正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键．