Question

7．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠的面积为S，则S与移动的距离AA′=x的函数关系式是y=-x²+12x（0≤x≤12）；当x=6时，S有最大值36．

Answer 1

分析 作A′B′交AC于E，如图，AA′=x，根据正方形的性质得∠CAD=45°，AD=CD=12，再利用平移的性质得B′A′⊥AD，于是可判断△AA′E为等腰直角三角形，则A′E=AA′=x，利用平行四边形的面积公式得到
S=-x²+12x（0≤x≤12），然后根据二次函数的性质求S的最大值．

解答 解：作A′B′交AC于E，如图，AA′=x，
∵四边形ABCD为边长为12的正方形，
∴∠CAD=45°，AD=CD=12，
∵△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，
∴B′A′⊥AD，
∴△AA′E为等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，
∴S=A′E•A′D=x（12-x）=-x²+12x（0≤x≤12）；
∵S=-（x-6）²+36，
∴当x=6时，S最大，最大值为36．
故答案为y=-x²+12x（0≤x≤12）；6；36．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握平移的性质，会运用二次函数的性质解决有关最值问题．