Question

如图，直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y=

k

x

（k＞0）在第一象限内相交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点．P是双曲线上一点，且|PO|=|PD|．
（1）试用k、b表示C、D两点的坐标；
（2）若△POD得面积等于1，试求双曲线在第一象限内的分支的函数解析式；
（3）当k=1时，若△AOB得面积等于4

3

，试求△COA与△BOD的面积之和．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得到C点坐标为（0，b），D点坐标为（b，0）；
（2）由|PO|=|PD|得到P点的横坐标为

b

2

，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可得到P点的坐标为（

b

2

，

2k

b

），再根据三角形面积公式得S_△POD=

1

2

•b•

2k

b

=1，解得k=1，于是可确定反比例函数的解析式为y=

1

x

（x＞0）；
（3）作OM⊥CD于M，AQ⊥x轴于Q，BH⊥AQ于H，易得△OCD和△ABH都是等腰直角三角形，根据其性质得OM=

1

2

AB=

2

2

b，AB=

2

BH，把反比例函数解析式和一次函数解析式联立组成方程组

y=-x+b y= 1 x

，消去y得到x²-bx+1=0，利用求根公式解方程，可得到点A和点B的横坐标分别为

b- b2-4

2

、

b+ b2-4

2

，
则BH=

b+ b2-4

2

-

b- b2-4

2

=

b2-4

，所以AB=

2

•

b2-4

，利用三角形面积公式得

1

2

•

2

2

b•

2

•

b2-4

=4

3

，变形为b⁴-4b²-128=0，解得b₁=4，b₂=-4（舍去），则OC=OD=4，然后利用△COA与△BOD的面积之和=S_△OCD-S_△OAB进行计算．

解答：解：（1）把x=0代入y=-x+b得y=b；把y=0代入y=-x+b得-x+b=0，解得x=b，
所以C点坐标为（0，b），D点坐标为（b，0）；
（2）∵|PO|=|PD|，
∴P点的横坐标为

b

2

，
把x=

b

2

代入y=

k

x

得y=

k

b 2

=

2k

b

，
∴P点的坐标为（

b

2

，

2k

b

），
∴S_△POD=

1

2

•b•

2k

b

=1，解得k=1，
∴反比例函数的解析式为y=

1

x

（x＞0）；
（3）作OM⊥CD于M，AQ⊥x轴于Q，BH⊥AQ于H，
∵OC=OD=b，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴OM=

1

2

AB=

1

2

•

2

b=

2

2

b，
∵△ABH为等腰直角三角形，
∴AB=

2

BH，
由

y=-x+b y= 1 x

得-x+b=

1

x

，
整理得x²-bx+1=0，解得x₁=

b- b2-4

2

，x₂=

b+ b2-4

2

，
∴点A和点B的横坐标分别为

b- b2-4

2

、

b+ b2-4

2

，
∴BH=

b+ b2-4

2

-

b- b2-4

2

=

b2-4

，
∴AB=

2

•

b2-4

，
∵S△OAB=

1

2

OM•AB，
∴

1

2

•

2

2

b•

2

•

b2-4

=4

3

，
变形为b⁴-4b²-128=0，解得b₁=4，b₂=-4（舍去），
∴OC=OD=4，
∴△COA与△BOD的面积之和=S_△OCD-S_△OAB=

1

2

×4×4-4

3

=8-4

3

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；会求一次函数与反比例函数图象交点坐标和三角形面积．