Question

8．分别根据下列条件，求二次函数的表达式．
（1）图象过点（1，0），（-1，8）和（0，2）；
（2）图象过点（-2，2）和（-4，14），对称轴为x=-2；
（3）图象过点（-1，-7），当x=2时有最大值2．

Answer 1

分析 （1）设一般式y=ax²+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到a、b、c的方程组，再解方程组即可；
（2）利用已知条件可得到抛物线的顶点坐标为（-2，2），则可设顶点式y=a（x+2）²+2，然后把（-4，14）代入求出a即可；
（3）利用已知条件可得到抛物线的顶点坐标为（2，2），则可设顶点式y=a（x-2）²+2，然后把（-1，-7）代入求出a即可．

解答 解：（1）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{a-b+c=8}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以二次函数解析式为y=2x²-4x+2；
（2）由于抛物线的对称轴为x=-2，则抛物线的顶点坐标为（-2，2），
设抛物线的解析式为y=a（x+2）²+2，
把（-4，14）代入得a•（-4+2）²+2=14，解得a=3，
所以抛物线的解析式为y=3（x+2）²+2；
（3）由于当x=2时有最大值2，则抛物线的顶点坐标为（2，2），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+2，
把（-1，-7）代入得a•（-1-2）²+2=-7，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-（x-2）²+2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．