Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴的交点分别为A、，将对折，使点O的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交x轴于点C，

求过A、B、C三点的抛物线解析式；

若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

若点Q是抛物线上一个动点，使得以A、B、Q为顶点并且以AB为直角边的直角三角形，直接写出Q点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线BC上不存在符合题意的点P，使得四边形ODAP为平行四边形；（3）、

【解析】试题分析：

（1）由OB=3，tan∠OAB=，∠AOB=90°，可得AO=4，即点A的坐标为（4，0）由此可得AB=5；由题意可知BC平分∠ABO，从而可得OC：AC=OB：AB=3：5，从而可得OC=1.5，即点C的坐标为（1.5，0），再用“待定系数法”即可求得抛物线的解析式；

（2）把（1）中所得解析式配方可得点D的坐标，由B、C两点坐标可求得BC的解析式，设点E为OA中点，则可得点E的坐标为（2，0），若四边形ODAP是平行四边形，则点D和点P关于点E对称，由此可得点P的坐标，将所得的点P的坐标代入BC的解析式检验，看点P是否在直线BC上，即可得到结论；

（3）过点A、B分别作AB的垂线，由AB的解析式求出两条垂线的解析式，把两解析式分别和抛物线的解析式组合得到列方程组，解方程组即可求得点Q的坐标.

试题解析：

（1）如图，∵OB=3，tan∠OAB=，∠AOB=90°，

∴OA=4，AB=，

∵由题意可知BC平分∠ABO，

∴OC：AC=OB：AB=3：5，

∴OC==1.5，

∴点A、B、C的坐标分别为（4，0），（0，3），（1.5，0），

∴可设抛物线解析式为，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：，即；

（2）∵，

∴点D的坐标为 ，

设点E为OA的中点，则点E的坐标为（2，0），若四边形ODAP是平行四边形，则点P和点D关于E点对称，由此可得点P的坐标为，

∵直线BC过点B（0，3）和点C（1.5，0），

∴直线BC的解析式为，

∵在中，当时，，

∴点P不在直线BC上，

∴直线BC上不存在点P使四边形ODAP为平行四边形；

（3）过点A作直线l1⊥AB，过点B作直线l2⊥AB，

∵点A、B的坐标分别为（4，0）和（0，3），

∴直线AB的解析式为：，

∴可得：直线l1的解析式为：，直线l2的解析式为：，

由 解得： ， ；

由 解得： ；

∵点Q不能与点A和点B重合，

∴点Q的坐标为 、.