Question

如图，已知直线y=-

3

x+2

3

与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（-2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积S的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：先根据当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，连接CD，则CD⊥AD，再求出A、B两点的坐标，再根据勾股定理求出AD，从而得出S_△ACD，再根据△AOE∽△ADC，求出△ABE的面积，再根据当AD与⊙C相切，且在x轴的下方时，△ABE的面积最大，求出△ABE的面积，即可得出△ABE面积S的取值范围．

解答：解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，
连接CD，则CD⊥AD，
∵直线y=-

3

x+2

3

与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴A、B两点的坐标是（2，0），（0，2

3

），
在Rt△ACD中，CD=2，AC=OC+OA=4；
由勾股定理，得：AD=2

3

；
∴S_△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

×2

3

×2=2

3

；
∵△AOE∽△ADC，
∴

S△AOE

S△ADC

=（

AO

AD

）²=（

2

2 3

）²=

1

3

，
∴S_△AOE=

1

3

S_△ADC=

2 3

3

；
∴S_△ABE=S_△AOB-S_△AOE=

1

2

×2×2

3

-

2 3

3

=

4

3

3

；

当AD与⊙C相切，且在x轴的下方时，△ABE的面积最大，
连接CD，则CD⊥AD，
则S_△ABE=S_△AOB+S_△AOE=

1

2

×2×2

3

+

2 3

3

=

8

3

3

；
则△ABE面积S的取值范围是

4

3

3

≤S≤

8

3

3

．
故答案为：

4

3

3

≤S≤

8

3

3

．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线的性质、勾股定理、相似三角形的性质，关键是根据题意画出图形，求出△ABE的面积的最大值和最小值．