Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

3

3

x+6与x轴、y轴分别交于A、B点，已知点C从点A出发沿AO以每秒1cm的速度向点0运动，同时点D从点B出发沿BA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DE⊥OB于点E．
（1）①直接写出∠ABO的度数为

 

；
②证明在C、D运动过程中，四边形ACED是平行四边形．
（2）当t=

 

时，四边形ACED是菱形；
（3）连接DC，当t为何值时，△DEC为直角三角形？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线的斜率即可求得∠ABO=30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可求得DE=AC=t，从而证得四边形ACED是平行四边形．
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形得出AD-DB=DE=t，从而求得t的值；
（3）若△DEC为直角三角形，则CD∥OB，从而得出

AC

OA

=

AD

AB

，即

t

6

=

12-2t

12

，得出t的值；

解答：（1）解：①∵直线y=-

3

3

x+6的斜率为-

3

3

，
∴∠ABO=30°；
②证明：在RT△BFD中，BD=2t，∠ABO=30°，
∴DE=

1

2

BD=t，
∵AC=t，
∴AC=DE，
又∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形．

（2）解：∵由直线y=-

3

3

x+6可知OA=6，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=12，
∵若四边形ACED是菱形，则AD=DE=t，
∴AD-DB=DE=t，
即12-2t=t，解得：t=4，
所以当t=4时四边形ACED是菱形；

（3）解：当△DEC为直角三角形时，

①∠CDE=90°，

∵DE∥AO，∴∠ACD=90°，

∵∠A=60°，∴AD=2AC，

∵AD=12-2t，AC=t，

∴12-2t=2t，

解得t=3．

②∠DCE=90°，

∵AD∥CE，∴∠ADC=90°，

∵∠A=60°，∴AC=2AD，

即t=2（12-2t）

解得t=4.8

∴当t=3或4.8时，△DEC为直角三角形．

点评：本题考查了有一个角是30°的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质是本题的关键；