Question

已知反比例函数y=

1-2m

x

（m为常数）的图象在一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过?ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（-2，0）．
①求出函数解析式；
②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为

 

；若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为

 

个．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,等腰三角形的性质,平行四边形的性质

专题：代数几何综合题

分析：（1）根据反比例函数的性质得1-2m＞0，然后解不等式得到m的取值范围；
（2）①根据平行四边形的性质得AD∥OB，AD=OB=2，易得D点坐标为（2，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得1-2m=6，则反比例函数解析式为y=

6

x

；
②根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点D关于原点的对称点P满足OP=OD，则此时P点坐标为（-2，-3）；再根据反比例函数y=

6

x

的图象关于直线y=x对称，可得点D（2，3）关于直线y=x对称点P满足OP=OD，此时P点坐标为（3，2），易得点（3，2）关于原点的对称点P也满足OP=OD，此时P点坐标为（-3，-2）；由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，所以以D点为顶点可画出点P₁，P₂；以O点顶点可画出点P₃，P₄，如图．

解答：解：（1）根据题意得1-2m＞0，
解得m＜

1

2

；

（2）①∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又∵A点坐标为（0，3），
∴D点坐标为（2，3），
∴1-2m=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=

6

x

；
②∵反比例函数y=

6

x

的图象关于原点中心对称，
∴当点P与点D关于原点对称，则OD=OP，此时P点坐标为（-2，-3），
∵反比例函数y=

6

x

的图象关于直线y=x对称，
∴点P与点D（2，3）关于直线y=x对称时满足OP=OD，
此时P点坐标为（3，2），
点（3，2）关于原点的对称点也满足OP=OD，
此时P点坐标为（-3，-2），
综上所述，P点的坐标为（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P₁，P₂，则点P₁，P₂满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P₃，P₄，则点P₃，P₄也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象的性质和其图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和等腰三角形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．