Question

如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE•HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：①由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；
②若以BD为直径作圆，那么此圆必经过A、B、C、H、D五点，根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的结论也是正确的．
③此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系；
④若BE平分∠DBC，那么H是DG的中点；易证得△ABH∽△BCE，得BD•BC=BE•BH，即BC²=BE•BH，因此只需求出BE•BH的值即可得到正方形的面积，可先求出BE、EH的比例关系，代入已知的乘积式中，即可求得BE•BH的值，由此得解．
解答：①正确，证明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；
②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；
由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故②正确；
③由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM；
故③正确；
④过H作HN⊥CD于N，连接EG；
若BH平分∠DBG，且BH⊥DG，易知：BH垂直平分DG；
得DE=EG，H是DG中点，HN为△DCG的中位线；
设CG=x，则：HN=x，EG=DE=x，DC=BC=（+1）x；
∵HN⊥CD，BC⊥CD，∴HN∥BC，
∴∠NHB=∠EBC，∠ENH=∠ECB，
∴△BEC∽△HEN，则BE：EH=BC：HN=2+2，即EH=；
∴HE•BH=BH•=4-2，即BE•BH=4；
∵∠DBH=∠CBE，且∠BHD=∠BCE=90°，
∴△DBH∽△CBE，得：DB•BC=BE•BH=4，
即BC²=4，得：BC²=4，即正方形ABCD的面积为4；
故④正确；
因此四个结论都正确，故选D．
点评：本题主要考查三角形相似和全等的判定及性质、正方形的性质以及圆周角定理等知识的综合应用，能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键．