Question

14．在正方形ABCD中，AB=2$\sqrt{5}$+2，E是边BC的中点，F是AB上一点，线段AE、CF交于点G，且CE=EG，将△CBF沿CF翻折，使得点B落在点M，连接GM并延长交AD于点N，则△AGN的面积为$\frac{16}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先作GH⊥BC于H，交AN于J，则GH∥AB，即可得到HG：HE=AB：BE=2：1，设HE=m，则HG=2m，EG=$\sqrt{5}$m，进而得到BC=2GE=2$\sqrt{5}$m，GJ=2$\sqrt{5}$m-2m，根据AB=2$\sqrt{5}$+2=BC，可得m=1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$，再根据$\frac{GH}{GJ}$=$\frac{BE}{NA}$，可得AN=（5-$\sqrt{5}$）m，最后根据△AGN的面积=$\frac{1}{2}$AN×GJ进行计算即可．

解答 解：如图所示，作GH⊥BC于H，交AN于J，则GH∥AB，
∴HG：HE=AB：BE=2：1，
设HE=m，则HG=2m，EG=$\sqrt{5}$m，
∵E是边BC的中点，CE=EG，
∴BC=2GE=2$\sqrt{5}$m，GJ=2$\sqrt{5}$m-2m，
∵AB=2$\sqrt{5}$+2=BC，
∴2$\sqrt{5}$+2=2$\sqrt{5}$m，
解得m=1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵CE=GE=BE，
∴∠ECG=∠GEC，∠EGB=∠EBG，
∴∠BGC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即BG⊥CF，
由折叠可得，BM⊥CF，
∴B，G，M在同一直线上，
又∵AN∥BE，
∴△GBE∽△GNA，
∴$\frac{GH}{GJ}$=$\frac{BE}{NA}$，即$\frac{2m}{2\sqrt{5}m-2m}$=$\frac{\sqrt{5}m}{AN}$，
解得AN=（5-$\sqrt{5}$）m，
∴△AGN的面积=$\frac{1}{2}$AN×GJ
=$\frac{1}{2}$（5-$\sqrt{5}$）m×（2$\sqrt{5}$m-2m）
=$\sqrt{5}$（$\sqrt{5}$-1）²m²
=$\sqrt{5}$（$\sqrt{5}$-1）²（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²
=$\frac{16}{5}\sqrt{5}$，
故答案为：$\frac{16}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，正方形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算，得出△ANG的底边与高．解题时注意：相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比．