【题目】如图,△ABC中,AB=AC=2,tanB=3,点D为边AB上一动点,在直线DC上方作∠EDC=∠ECD=∠B,得到△EDC,则CE最小值为_____.
【答案】6.
【解析】
作AM⊥BC于M,CN⊥AB于N.在Rt△ABM中,根据三角函数关系可求得BM,AM的值,在Rt△CNB中根据三角函数关系可求得NC的值.易证明△EDC∽△ABC,根据相似的性质可得,可得DC最小时,EC最小,当DC与NC重合时DC最小,由此可求得CE.
作AM⊥BC于M,CN⊥AB于N.
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BM=MC,∠B=∠ACB,
∴tanB==3,设AM=3k,BM=k,
在Rt△ABM中,40=9k2+k2,
∴k2=4,
∵k>0,
∴k=2,
∴BM=CM=2,BC=4,
∵CN⊥AB,
∴∠CNB=90°,
∴tanB==3,设BN=m,CN=3m,
则有,10m2=16,
∵m>0,
∴m=,
∴CN=,
∵∠EDC=∠ECD=∠B=∠ACB,
∴△EDC∽△ABC,
∴=,
∴==,
∴DC最小时,EC的值最小,
∵当CD与CN重合时CD的值最小,此时CD=,
∴EC的最小值=×2÷4=6,
故答案为6.
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【题目】如图,△ABC的各个顶点都在边长为1的正方形网格的交点上.
(1)把△ABC绕原点O顺时针旋转90°,作出旋转后的△A1B1C1;
(2)若△A2B2C2与△ABC关于原点O对称,则△A2B2C2的各顶点坐标为:A2 ;B2 ;C2 .
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,抛物线交x轴于A、C两点,与直线y=x﹣1交于A、B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求抛物线的解板式.
(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动,若△ABP的面积最大,求此时点P的坐标.
(3)在平面直角坐标系中,以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出符合条件点D的坐标.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长;
(3)点F在抛物线上运动,是否存在点F,使△BFC的面积为6,如果存在,求出点F的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】春节即将来临,某企业接到一批礼品生产任务,约定这批礼品的出厂价为每件6元,按要求在20天内完成.为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人小王第x天生产的礼品数量为y件,y与x满足如下关系:y=.
(1)小王第几天生产的礼品数量为390件?
(2)如图,设第x天生产的每件礼品的成本是z元,z与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若小王第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价﹣成本)
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【题目】下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知:如图,⊙O及⊙O上一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.
作法:如图,
①作射线OP;
②在直线OP外任取一点A,以点A为圆心,AP为半径作⊙A,与射线OP交于另一点B;
③连接并延长BA与⊙A交于点C;
④作直线PC;
则直线PC即为所求.
根据小元设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:∵ BC是⊙A的直径,
∴∠BPC=90°(____________)(填推理的依据).
∴OP⊥PC.
又∵OP是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线(____________)(填推理的依据).
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
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【题目】已知,如图,有一块含有30°的直角三角形的直角边的长恰与另一块等腰直角三角形的斜边的长相等.把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且
(1)若某开口向下的抛物线的顶点恰好为点,请写出一个满足条件的抛物线的解析式.
(2)若把含30°的直角三角形绕点按顺时针方向旋转后,斜边恰好与轴重叠,点落在点,试求图中阴影部分的面积(结果保留)
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