Question

有一矩形ABCD，AB=a，BC=ka．现将纸片折叠，使顶点A和顶点C重合，如果折叠后纸片不重合的部分的面积为

15

a²，试求k的值．

Answer 1

分析：分k=1，k＜1，k＞1三种情况，前二者矩形总面积不足

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a²，不合题意，第③的情况利用勾股定理解答即可．

解答：解：（1）当k=1，k＜1，四边形的面积为a•ka=ka²≤a²≤

15

a²，
则不重合的部分的面积≤

15

a²，
不合题意，舍去；

（2）当k＞1时，设BF=x，则FC=（ka-x），AF=FC=ka-x，
在Rt△ABF中，（ka-x）²=a²+x²，
（ka）²+x²-2kax=a²+x²，
k²a²+x²-2kax=a²+x²，
k²a²-2kax=a²，
-2kax=a²-k²a²，
x=

k2a-a

2k

，
S_△ABF=

1

2

BF•AB=

1

2

•

k2a-a

2k

•a，
又∵2S_△ABF=

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a²，
∴

k2a-a

2k

a=

15

a²，
∴k²-2

15

-1=0，
解得k=4+

15

或k=-4+

15

＜0（舍去）．
故k=4+

15

．

点评：此题考查了翻折变换，将原图转化为关于直角三角形的问题，利用勾股定理解答是解决此类问题的关键．