Question

如图1，已知四边形ABCD，点P为平面内一动点.如果∠PAD=∠PBC，那么我们称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点. 如图2，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6.

（1）若A、D两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，则点P的坐标为                  ；

（2）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的角点P在DC边上时，求点P的坐标；

（3）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD关于A、B的等角点，其中x＞2，y＞0，求y与x之间的关系式.

 

Answer 1

【答案】

（1）（6，2）；（2）(6，)；（3）y=2x或．

【解析】

试题分析：（1）画出点A、D坐标，根据四边形ABCD是矩形可得点P在CD的中点处，写出相应坐标即可；（2）易得点P的横坐标为6，利用△PAD∽△PBC可得点P的纵坐标；（3）可分点P在直线AD的上方，或下方两种情况进行探讨：当点P在直线AD的上方时，点P在线段BA的延长线上，利用点A的坐标可得相关代数式；当点P在直线AD的下方时，利用（2）中的相似可得相关代数式．

试题解析：（1）（6，2）．

（2）依题意可得∠D=∠BCD=90°，∠PAD=∠PBC，AD=4，CD=4，BC=6．

∴△PAD∽△PBC. ∴.

∵PD+PC=CD=4，∴PC＝．

∴点P的坐标为(6，).

（3）根据题意可知，不存在点P在直线AD上的情况；

当点P不在直线AD上时，分两种情况讨论：

①当点P在直线AD的上方时，点P在线段BA的延长线上，此时有y=2x.

②当点P在直线AD的下方时，过点P作MN⊥x轴，分别交直线AD、BC于M、N两点，

与（2）同理可得△PAM∽△PBN，PM+PN=4，

由点P的坐标为P（x，y），可知M、N两点的坐标分别为M（x，4）、N（x，0）．

∴．可得，即，即．∴．

综上所述，当x＞2，y＞0时，y与x之间的关系式为y=2x或．

考点：1.动点问题；2.新定义；3. 坐标与图形的对称变化；4.相似三角形的应用；5.数形结合和分类思想的应用．