Question

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，∠BDF=∠C，∠BFD=∠DEC．
（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）如果要使四边形AFDE成为菱形，试写出△ABC需添加的条件（写出一个）；
（3）如果要使四边形AFDE成为矩形，试写出△ABC需添加的条件（写出一个）．
（4）请选择（2）、（3）中的一个结论进行证明．

Answer 1

（1）解：四边形AFDE是平行四边形．
理由是：∵∠BDF=∠C，
∴DF∥AC，
在△BDF和△DCE中
∵，
∴△BDF≌△DCE（AAS），
∴∠B=∠EDC，
∴DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．

（2）解：AB=AC，
理由是：∵四边形AFDE是平行四边形，
∴DF=AE，DE=AF，
∵△BDF≌△DCE，
∴DF=CE，DE=BF，
∴AE=EC，AF=FB，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
即平行四边形AFDE是菱形．

（3）解∠A=90°，
理由是∵四边形AFDE是平行四边形，∠A=90°，
∴平行四边形AFDE是矩形．

（4）选择（2）．证明AB=AC，
理由是：∵四边形AFDE是平行四边形，
∴DF=AE，DE=AF，
∵△BDF≌△DCE，
∴DF=CE，DE=BF，
∴AE=EC，AF=FB，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
即平行四边形AFDE是菱形．
分析：（1）求出DF∥AC，根据AAS证△BDF≌△DCE，推出∠B=∠EDC，得到DE∥AB，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）根据平行四边形性质和全等三角形性质得出AE=EC，AF=FB，根据AB=AC得出AE=AF，根据菱形的判定推出即可；
（3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推出即可；
（4）根据平行四边形性质和全等三角形性质得出AE=EC，AF=FB，根据AB=AC得出AE=AF，根据菱形的判定推出即可．
点评：本题考查了矩形、平行四边形、菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目比较好．有一定的难度．