Question

如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） 。

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由。

 

Answer 1

（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上，  

（2）成立。

证明：

法一：连结DE，DF。  

∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC。

又∵D，E，F是三边的中点，

∴DE，DF，EF为三角形的中位线。∴DE=DF=EF，∠FDE=60°。

又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE。

在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，

∴△DMF≌△DNE。

∴MF=NE。      

法二：

延长EN，则EN过点F。   

∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC。

又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF。

∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN。

又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，

∴△DBM≌△DFN。

∴BM=FN。

∵BF=EF，  ∴MF=EN。

法三：

连结DF，NF。

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=AC。

又∵D，E，F是三边的中点，

∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB。

又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN。 

在△DBM和△DFN中，DF=DB，

DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN。

∴∠B=∠DFN=60°。

又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，

∴∠DFE=60°。

∴可得点N在EF上，

∴MF=EN。         

（3）画出图形（连出线段NE），

MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）。