Question

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．连接BD．
（1）图中有几对三角三全等？试选取一对全等的三角形给予证明；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．

Answer 1

分析：（1）根据题意可判断出AE=DF，DE=CF，从而结合菱形的性质即可得出全等三角形的对数，选择一对进行证明即可．
（2）根据（1）可得出BE=BF，∠EBF=60°，继而可判定△BEF为正三角形．
（3）设BE=BF=EF=x，则可表示出△BEF的面积与x的关系，可得出此时EF与BD的位置关系．

解答：解：（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；
证明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，

BD=BC ∠C=∠BDE DE=CF

，
故△BDE≌△BCF．

（2）△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；

（3）设BE=BF=EF=x，
则S_△BEF=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
当BE⊥AD时，x_最小=2×sin60°=

3

，此时△BEF的面积最小，
此时点E、F分别位于AD、CD的中点，
故此时BD垂直平分EF．

点评：此题考查了菱形的性质，综合考查了正三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解答最后一问关键是判断点E及点F的位置．