Question

3．如图，直线1与⊙O相切于点A，点P在直线1上，直线PO交⊙O于点B、C，OD⊥AB，垂足为D，交PA于点E．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PB=OB=6，求$\widehat{AC}$的长．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证明△AOE≌△BOE可得：∠EBO=∠EAO=90°，所以直线BE与⊙O相切；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：AB=6，可得△AOB是等边三角形，再求$\widehat{AC}$的圆心角，代入弧长公式得结论．

解答 解：（1）直线BE与⊙O相切，
理由是：∵OB=OA，OD⊥AB，
∴∠AOD=∠BOD，
∵直线1与⊙O相切于点A，
∴∠EAO=90°，
在△AOE和△BOE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOD=∠BOD}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOE（SAS），
∴∠EBO=∠EAO=90°，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）在Rt△PAO中，
∵PB=OB=6，
∴AB=$\frac{1}{2}$OP=OB=6
∴AB=OB=OA
∴△AOB是等边三角形
∴∠AOB=60°
∴∠AOC=120°
∴${l}_{\widehat{AC}}$=$\frac{120π×60}{180}$=40π．

点评 本题考查了直角三角形斜边的中线的性质、三角形全等的性质和判定、弧长公式、切线的性质和判定，熟练掌握切线的判定方法和弧长公式是关键．