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如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD垂直于过点C的直线,垂足为D,且AC平分∠BAD.

(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=,AD=4,求AB的长.
(1)证明见解析;(2)6.

试题分析:(1)连接OC,推出∠DAC=∠OCA=∠CAO,推出OC∥AD,推出OC⊥DF,根据切线判定推出即可;
(2)连接BC,证△DAC∽△CAB,得出比例式,代入求出即可.
试题解析:(1)证明:联结OC
∵OA=OC,∴∠1=∠2
∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OC//AD
∴∠OCE=∠ADC
∵AD⊥DC  ∴∠ADC=90°
∴∠OCE=90°
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:联结BC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
又∵∠ADC=90°,∠1=∠3,
∴cos∠1=cos∠3,
,∴
把AC=,AD=4代入,得AB=6.

考点: 1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质.
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