Question

如图，AB是⊙O的直径，点E是

AD

上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）可证明△ABC∽△BDC，则

BC

CA

=

CD

BC

，即可得出BC=

10

．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的切直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CA

=

CD

BC

，即BC²=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，
∴BC=

10

．

点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，是重点知识要熟练掌握．