Question

已知α、β是关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+1=0的两个实数根，求（1+mα+α²）（1+mβ+β²）的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,一元二次方程的解

专题：计算题

分析：先根据一元二次方程的解的定义得到α²+（m-2）α+1=0，β²+（m-2）β+1=0，变形得到α²+mα+1=2α，β²+mβ+1=2β，则（1+mα+α²）（1+mβ+β²）可变形为4αβ，然后利用根与系数的关系得到αβ=1，再利用整体代入的方法计算即可．

解答：解：∵α、β是关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+1=0的两个实数根，
∴α²+（m-2）α+1=0，β²+（m-2）β+1=0，即α²+mα+1=2α，β²+mβ+1=2β，
∴（1+mα+α²）（1+mβ+β²）=2α•2β=4αβ，
∵α、β是关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+1=0的两个实数根，
∴αβ=1，
∴（1+mα+α²）（1+mβ+β²）=4αβ=4×1=4．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的解．