Question

在直线y=x+4与坐标轴交于A、B两点，BD平分∠ABO，交y轴于D，OE⊥BD交AB于E点，点F在OB上，且OF=AE，AF与OE相交于M点．求证：
（1）AE=OD；
（2）DM⊥AF．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由解析式可以求出A、B的解析式，得出△ABO为等腰直角三角形，由角平分线的性质可以得出△BGE≌△BGO，就可以得出GE=GO，连结DE就可以得出DE=DO，就可以得出△BDE≌△BDO，得出∠BED=∠BOD，就可以得出∠AED=90°，得出∠ADE=45°，得出∠EAD=∠ADE，就有AE=ED，进而得出AE=DO；
（2）连结DF，由由DO=FO就可以得出∠OFD=45°，得出DF∥AB，得出∠6=∠7，由△BDO≌△AFO就可以得出∠2=∠3，由∠4=∠2就可以得出就有∠3=∠4，得出AM=OM，进而可以得出∠AFO=∠5，就有MO=MF，得出AM=FM，由∠2=∠3，可以得出∠1=∠6，就有∠2=∠6，∠2=∠7，∠3=∠7，得出AD=FD，由AM=FM就可以得出DM⊥AF．

解答：证明：（1）∵y=x+4，
∴x=0时．y=4，y=0时，x=-4，
∴A（0，4），B（-4，0），
∴AO=BO=4．
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°．
∵BD平分∠ABO，
∴∠1=∠2．
∵OE⊥BD，
∴∠BGE=∠BGO=90°．
在△BGE和△BGO中，

∠1=∠2 BD=BD ∠BGE=∠BGO

，
∴△BGE≌△BGO（ASA），
∴GE=GO．BE=BO．
连结DE，
∴DE=DO．
在△BDE和△BDO中

BE=BO DE=DO BD=BD

，
∴△BDE≌△BDO（SSS），
∴∠BED=∠BOD=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴AE=DE．
∴AE=DO；
（2）连结DF．
∵AE=FO，AE=DO，
∴FO=DO，
∴∠OFD=∠ODF=45°，
∴∠DFO=∠ABO，
∴DF∥AB，
∴∠6=∠7．
在△BOD和△AOF中

BO=AO ∠AOB=∠AOB DO=FO

，
∴△BOD≌△AOF（SAS），
∴∠2=∠3．
∵∠OBA=∠OAB，
∴∠OBA-∠2=∠OAB-∠1，
∴∠1=∠6．
∴∠2=∠6，
∴∠2=∠7，
∴∠3=∠7，
∴AD=DF．
∵∠4+∠BDO=90°，∠2+∠BDO=90°，
∴∠4=∠2，
∴∠4=∠3，
∴AM=OM．
∵∠4+∠5=90°，∠3+∠AFO=90°，
∴∠5=∠AFO，
∴FM=OM，
∴AM=FM，且AD=FD，
∴DM⊥AF．

点评：本题考查了一次函数的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答本题时证明三角形全等是关键．