Question

如图，抛物线y=-

4

9

x2-

4

9

mx+

8

9

m2（m＞0）与x轴相交于A，B两点，点H是抛物线的顶点，以AB为直径作圆G交y轴于E，F两点，EF=4

2

．
（1）用含m的代数式表示圆G的半径r_G的长；
（2）连接AH，求线段AH的长；
（3）点P是抛物线对称轴正半轴上的一点，且满足以P点为圆心的圆P与直线AH和圆G都相切，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）当y=0时，求出x的值就是点A、点B的横坐标，就可以求出AB的长度，就是⊙G的直径，从而可以表示出它的半径．
（2）由第一问的半径就可以求出G的坐标，从而求出GO的长度，由EF=4

2

．由垂径定理求出OE的长度，连接GE，由勾股定理建立等量关系求出m的值，从而求出H的坐标，求出GH的长度，从而由勾股定理求出AH的长度．
（3）可以设出P点的坐标为（-1，k），运用三角函数值表示出⊙P的半径，从外切于内切两种不同的情况求出点P的坐标．

解答：解：（1）当y=0时，
-

4

9

x²-

4

9

mx+

8

9

m²=0，
∴x²+mx-2m²=0，
解得：x₁=-2m，x₂=m．
∵m＞0，
∴A（-2m，0），B（m，0），
∴AB=3m，
∴⊙G的半径为

3

2

m；

（2）∵⊙G的半径为

3

2

m，
∴G（-

m

2

，0）．
∵x轴⊥EF，AB是直径，且EF=4

2

，
∴EO=

EF

2

=2

2

，连接GE，在Rt△GEO中，由勾股定理，得
(

3m

2

)2 = (

1

2

m)2+(2

2

)2，
解得：m=±2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴y=-

4

9

x²-

8

9

x+

32

9

，⊙G的半径=3，
∴y=-

4

9

（x+1）²+4．
∴H（-1，4），
∴GH=4，
∵AG=3，由勾股定理，得
AH=5；

（3）设⊙P的半径为r，P点的坐标为（-1，k）．
由题意可知，当k＞4，不符合题意，所以0＜k＜4．
∵⊙P与直线AH相切，过点P作PM⊥AH于点M，
∴PM=r，HP=4-k，r=HPsin∠AHG=

3(4-k)

5

．
①当⊙P与⊙G内切时，
∴3-r=k，
∴3-

3(4-k)

5

=k，解得k=

3

2

，
∴P（-1，

3

2

）．

②当⊙P与⊙G外切，
∴3+r=k，
∴3+

3(4-k)

5

=k，解得：k=

27

8

．
所以满足条件的P点有：P（-1，

3

2

），P（-1，

27

8

）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了圆的半径，垂径定理的运用，勾股定理的运用，圆与圆相切直线与圆相切的性质．