Question

14．已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．
（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，接着利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，当$\left\{\begin{array}{l}{m-5≤4}\\{m≥1}\end{array}\right.$，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；
（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点．而F点为 （4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5．

解答 解：（1）存在．
∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．
∴OA=BC=5，BC∥OA，
以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，如图1，
作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，
∴EG=$\sqrt{D{E}^{2}-D{G}^{2}}$=1.5，
∴E（1，2），F（4，2），
∴当$\left\{\begin{array}{l}{m-5≤4}\\{m≥1}\end{array}\right.$，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；
（2）如图2，
∵BC=OA=5，BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠AOC+∠OAB=180°，
∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，
∴∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠OAQ=$\frac{1}{2}$∠OAB，
∴∠AOQ+∠OAQ=90°，
∴∠AQO=90°，
以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，
∴点Q只能是点E或点F，
当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，
∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，
∴CF=OC，BF=AB，
而OC=AB，
∴CF=BF，即F是BC的中点．
而F点为（4，2），则$\frac{m+m-5}{2}$=4，解得m=6.5
∴此时m的值为6.5，
当Q在E点时，同理可得$\frac{m+m-5}{2}$=1，此时m的值为3.5，
综上所述，m的值为3.5或6.5．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长．