试题分析:(1)将A点坐标代入直线的解析式中,即可求得k的值,从而确定该直线的解析式;将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,可求得m、n的值,从而确定抛物线的解析式.
(2)根据(1)得到的抛物线解析式,可求得点B的坐标,根据P、Q的运动速度,可用t表示出BP、CQ的长,进而可得到AQ、AP的长,然后分三种情况讨论:
①∠APQ=90°,此时PQ∥OC,可得到△APQ∽△AOC,根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值;
②∠AQP=90°,亦可证得△APQ∽△ACO,同①的方法可求得此时t的值;
③∠PAQ=90°,显然这种情况是不成立的.
(3)过D作y轴的平行线,交直线AC于F,设出点D的横坐标,根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标,进而可求得DF的长,以DF为底,A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式(或由△ADF、△CDF的面积和求得),由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系,根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标.
试题解析:
∵直线y=kx-3过点A(4,0),∴0=4k-3,解得k=
.
∴直线的解析式为y=
x-3.
由直线y=
x-3与y轴交于点C,可知C(0,-3).
∴
,解得m=
.
∴抛物线解析式为
(2)对于抛物线
,
令y=0,则
,解得x
1=1,x
2=4.
∴B(1,0).
∴AB=3,AO=4,OC=3,AC=5,AP=3-t,AQ=5-2t.
①若∠Q
1P
1A=90°,则P
1Q
1∥OC(如图1),
∴△AP
1Q
1∽△AOC.
∴
,∴
.解得t=
;
②若∠P
2Q
2A=90°,∵∠P
2AQ
2=∠OAC,∴△AP
2Q
2∽△AOC.
∴
,∴
.解得t=
;
综上所述,当t的值为
或
时,以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似.
(3)答:存在.
过点D作DF⊥x轴,垂足为E,交AC于点F(如图2).
∴S
△ADF=DF·AE,S
△CDF=DF·OE.
∴S
△ACD=S
△ADF+S
△CDF=DF×(AE+OE)=
×4(DE+EF)=2×(
)=
.
∴S
△ACD=
(0<x<4).
又0<2<4且二次项系数
,∴当x=2时,S
△ACD的面积最大.
而当x=2时,y=
.
∴满足条件的D点坐标为D(2,
).