Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的高，
（1）尺规作图：在∠ABC的内部作∠CBM，使得∠CBM=∠DAC（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若射线BM与AC交于点E，与AD交于点F，且CD=3，试求线段DF的长．

Answer 1

解：（1）作图如图1：

（2）如图2：
∵AD⊥BC，∠ABC=45°
∴∠1=∠ABC=45°
∴AD=BD
在△BDF和△ADC中
∵，
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴DF=DC=3
分析：（1）作∠CBM=∠ADE，其中BM交AC于E、AD于F；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，由ASA可证△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质求解．
点评：综合考查了角的作图，全等三角形的判定和性质的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．