Question

如图，一次函数y=kx+b（k不为0）的图象与x轴和y轴交于A、B两点
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）通过观察图象，写出不等式kx+b＜0的解集是什么？
（3）在x轴的正半轴上是否存在点P，使△AOB和△POB相似？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）把A（-1，0），B（2，0）代入y=kx+b得
解得：b=2，k=2．
所以这个一次函数的解析式是y=2x+2．
答：这个一次函数的解析式是y=2x+2．

（2）kx+b＜0即y=2x+2＜0．
则2x+2＜0．解得x＜-1．
答；不等式kx+b＜0的解集是x＜-1．

（3）存在，有两种情况：
①
如上图所示：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=∠BOP，
当=时，即，
则OP=1，
∵P点是在x轴的正半轴上，
∴P点坐标为（1，0）
②如下图所示：

当=时，=
OM=4，
∵P点是在x轴的正半轴上，
∴点P坐标（4，0）．
分析：（1）把A、B两点代入一次函数y=kx+b得方程组求k，b的值即可；
（2）解2x+2＜0的不等式即可．
（3）根据两三角形对应边成比例，且夹角相等这一判定定理从两种情况去分析此题即可求出点P坐标．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式等知识点，综合性较强，难易程度适中．