Question

将△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DBE，直线DE与直线AC相交于点F，连接BF．
（1）如图1，若α=60°，DF=2AF，请直接写

AF

BF

等于

 

；
（2）若DF=mAF，（m＞0，且m≠1）
①如图2，求

AF

BF

；（用含α，m的式子表示）
②如图3，依题意补全图形，请直接写出

AF

BF

等于

 

．（用含α，m的式子表示）

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）连接AD，G是DF的中点，连接AG，然后证得△ABD和△AGF是等边三角形，再证得△BDF≌△ADF，得出BF=AF即可求得；
（2）①在DF上截取DG=AF，连接BG，由旋转知，DB=AB，∠D=∠A，从而证得△DBG≌△ABF，然后通过解直角三角形即可求得；
②延长FD到G，使DG=AF，连接BG，先证得△DBG≌△ABF，然后解直角三角形即可求得；

解答：解：（1）连接AD，G是DF的中点，连接AG，
∵∠BAC=∠BDE，
∴∠ABD=∠AFG=60°，
∵DF=2AF，
∴AF=GF，
∴AG=AF=GF=DG，
∴∠ADG=∠DAG=30°，
∵AB=DB，∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，BD=AD，
∴∠ADF=∠BDF=30°，
在△BDF与△ADF中

BD=AD ∠BDF=∠ADF DF=DF

∴△BDF≌△ADF（SAS），
∴AF=BF，
∴

AF

BF

=1．
故答案为1．

（2）①如图2，在DF上截取DG=AF，连接BG，
由旋转知，DB=AB，∠D=∠A，
在△DBG与△ABF中

BD=AB ∠D=∠A DG=AF

∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠GBF=α，
过点B作BN⊥GF于点N，
∴点N为GF中点，∠FBN=

α

2

，
在RT△BNF中，NF=BF•sin

α

2

，
∴GF=2BF•sin

α

2

，
∵DF=DG+GF，
∴mAF=AF+2BF•sin

α

2

，
∴（m-1）AF=2BF•sin

α

2

，
∴

AF

BF

=

2

m-1

sin

α

2

．

②如图3，依题意补全的图形，
延长FD到G，使DG=AF，连接BG，
由旋转知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠GBF=α，
过点B作BN⊥GF于点N，
∴点N为GF中点，∠FBN=

α

2

，
在RT△BNF中，NF=BF•sin

α

2

，
∴GF=2BF•sin

α

2

，
∵GF=GD+DF，
∴2BF•sin

α

2

=AF+mAF，
∴2BF•sin=（m+1）AF，
∴

AF

BF

=

2

m+1

sin

α

2

，
故答案为

2

m+1

sin

α

2

．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，应用直角三角函数解直角三角形等，本题的根据是构建直角三角形，通过解直角三角形求得结果．