试题分析:(1)本题要分情况进行讨论:
①当EF≤CD,即当0<x≤1时,重合部分是△EFG,两直角边的长均为x,由此可得出S,x的函数关系式.
②当CD<EF≤
BC,即当1<x≤1.5时,重合部分是个梯形,可用相似三角形求出梯形的上底的长,进而根据梯形的面积计算公式得出S,x的函数关系式.
③当EF>
BC,但D在EG上或EG右侧,即当1.5<x≤2时,此时重合部分是个梯形,如果设EG与AD相交于点M,AD的延长线与FG相交于点N,可先在相似三角形GMN和GEF中求出MN的长,而后根据MD=MN﹣DN求出梯形的上底长,进而可按梯形的面积计算公式得出S,x的函数关系式.
④当EF在D点右侧时,即当2<x<3时,重合部分是个三角形,先用x表示出两直角边的长,然后按①的方法进行求解即可.
(2)按上面分析的四种情况,分别进行求解,得出不同自变量的取值范围内S的最大值,然后进行比较即可得出S的最大值.
(1)①当0<x≤1时,FG=EF=x<1=AB(如图1),
∴S=
EF•FG=
x
2(0<x≤1);
②当1<x≤1.5时,FG=EF=x>1=AB(如图2),
设EG与AD相交于点M,FG与AD相交于点N,
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠GNM=∠GEF=45°,∠GNM=∠GFE=90°
∴∠MGN=45°
∴MN=GN=x﹣1
S=
(MN+EF)FN=x﹣
(1<x≤1.5);
③当1.5<x≤2时,(如图3),设EG与AD相交于点M,AD的延长线与FG相交于点N,
∵四边形ABCD是矩形
∴AN∥BF
同理MN=GN=x﹣1
∵∠FNM=∠GFE=∠DCF=90°
∴四边形DCFN是矩形
DN=CF=BF﹣BC=2x﹣3,
MD=MN﹣DN=(x﹣1)﹣(2x﹣3)=2﹣x
S=
(MD+EC)CD=﹣x+
(1.5<x≤2)
④当2<x<3时,(如图4),
设EG与CD相交于点M
∵四边形ABCD是矩形,△EFG是等腰直角三角形,
∴∠MCE=90°,∠MEC=45°=∠CME
∴CM=CE=3﹣x
∴S=
CE•CM=
x
2﹣3x+
(2<x<3);
(2)存在,其最大值为1.