试题分析:(1)四边形OKPA是正方形.当⊙P分别与两坐标轴相切时,PA⊥y轴,PK⊥x轴,x轴⊥y轴,且PA=PK,可判断结论;
(2)①连接PB,设点P(x,
),过点P作PG⊥BC于G,则半径PB=PC,由菱形的性质得PC=BC,可知△PBC为等边三角形,在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=
,利用sin∠PBG=
,列方程求x即可;
②求直线PB的解析式,利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立,列方程组求满足条件的M点坐标即可.
(1)四边形OKPA是正方形.
证明:∵⊙P分别与两坐标轴相切,
∴PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四边形OKPA是矩形.
又∵AP=KP,
∴四边形OKPA是正方形.
(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为
.
过点P作PG⊥BC于G.
∵四边形ABCP为菱形,
∴BC=PA=PB=PC(半径).
∴△PBC为等边三角形.
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG=
sin∠PBG=
,即
=
.
解之得:x=±2(负值舍去).
∴PG=
,PA=BC=2.P(2,
)
易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.
∴A(0,
),B(1,0),C(3,0).
②设二次函数解析式为:y=ax
2+bx+c.
据题意得:
解之得:
.
∴二次函数关系式为:y=
x
2?
x+
设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:
解之得:
.
∴直线BP的解析式为:y=
x-
,
过点A作直线AM∥BP,则可得直线AM的解析式为:y=
x+
.
解方程组:
得:
;
.
过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:y=
x+t.
∴0=3
+t.
∴t=?3
.
∴直线CM的解析式为:y=
x?3
.
解方程组:
得:
;
..
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为:(0,
),(3,0),(4,
),(7,8
).
考点: 二次函数综合题.