Question

2．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a²±2ab+b²=（a±b）²，那么$\sqrt{{a}^{2}±2ab+{b}^{2}}$=|a±b|，那么如何将双重二次根式$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$（a＞0，b＞0，a±2$\sqrt{b}$＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（$\sqrt{m}$）²+（$\sqrt{n}$）²=a即m+n=a，且使$\sqrt{m}$$•\sqrt{n}$=$\sqrt{b}$即m•n=b，那么$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$=|$\sqrt{m}$±$\sqrt{n}$|，双重二次根式得以化简；
例如化简：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$；
∵3=1+2且2=1×2，
∴3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{1}$）²+（$\sqrt{2}$）²+2$\sqrt{1}$×$\sqrt{2}$
∴$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m•n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；
（2）化简：①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$   ②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$
（3）计算：$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 （1）把被开方数利用完全平方公式变形为完全平方式，然后利用二次根式的性质化简；
（2）利用二次根式的性质变形得到$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$=$\sqrt{9+2\sqrt{18}}$；$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$=$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$，然后与（1）的方法一样化简即可；
（3）先变形得到$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$+$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$，然后与（1）的方法一样化简即可．

解答 解：（1）填空：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；
（2）①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$=$\sqrt{9+2\sqrt{18}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$；
②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$=$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$=$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$；
（3）$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$+$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$．
故答案为$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．