Question

△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．

Ⅰ．证明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ．探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分．

Ⅱa．小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．

设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化)．

Ⅱb．小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：

①在AB边上任取一点，如图作正方形；

②连结B并延长交AC于F；

③作FE∥交BC于E，FG∥交AB于G，GD∥交BC于D，则四边形DEFG即为所求．

你认为小明的作法正确吗？说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

Ⅰ．证明：∵DEFG为正方形， 　　∴GD＝FE，∠GDB＝∠FEC＝90°　2分 　　∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°　3分 　　∴△BDG≌△CEF(AAS)　5分 　　Ⅱa．解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH， 　　求得　7分 　　由△AGF∽△ABC得：　9分 　　解之得：(或)　10分 　　解法二：设正方形的边长为x，则　7分 　　在Rt△BDG中，tan∠B＝， 　　∴　9分 　　解之得：(或)　10分 　　解法三：设正方形的边长为x， 　　则　7分 　　由勾股定理得：　9分 　　解之得：　10分 　　Ⅱb．解：正确　6分 　　由已知可知，四边形GDEF为矩形　7分 　　∵FE∥， 　　∴， 　　同理， 　　∴ 　　又∵＝， 　　∴FE＝FG 　　因此，矩形GDEF为正方形　10分