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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，一次函数y=x+2的图象分别交轴、轴于A、B两点，O1为以OB为边长的正方形OBCD的对角线的交点．两动点P、Q同时从A点出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒
    		2
    个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动．AO1交于轴于点E，设P、Q运动的时间为t秒．
    （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
    （2）求出E点的坐标和S△ABE的值；
    （3）当Q点运动在折线AD→DC上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S△ABE：S△APQ=4：3？若存在，请确定t的值；若不存在，请说明理由．
    （1）在y=x+2中，令y=0，则x=-2．令x=0，则y=2，
    ∴A（-2，0），B（0，2），
    ∴BO=2，
    ∴OD=2，
    ∴C（2，2）．
    设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    则
    c=2
    4a+2b+c=2
    4a-2b+c=-2

    ∴
    a=-
    1
    4
    b=
    1
    2
    c=2

    ∴函数的解析式是：y=-
    1
    4
    x2+
    1
    2
    x+2；

    （2）设直线AO的解析式为y=kx+m，
    ∵A（-2，0），O1（1，1），
    ∴
    -2k+m=0
    k+m=1

    ∴
    k=
    1
    3
    m=
    2
    3

    ∴y=
    1
    3
    x+
    2
    3

    ∴E的坐标是（0，
    2
    3
    ）；
    ∴BE=BO-EO=2-
    2
    3
    =
    4
    3
    ．
    ∴S△ABE=
    1
    2
    BE•AO=
    1
    2
    ×
    4
    3
    ×2=
    4
    3
    ．

    （3）当0≤t≤2时，Q在AD上，P从A到B运动．
    过P作PH⊥x轴于点H，
    则AQ=2t，AP=
    		2
    t，
    ∴AH=PH=t，
    ∴S△APQ=
    1
    2
    AQ•PH=
    1
    2
    •2t•t=t2．
    ∵S△ABE：S△APQ=4：3，
    ∴S△APQ=1，
    ∴t2=1．
    ∵0≤t≤2，
    ∴t=1．
    当2＜t≤3时，Q在DC上，P从B向A运动．延长AB、DC交于点F．
    过Q作QM⊥AF于M，则∠F=∠BAD=45°，
    ∴MQ=
    		2
    2
    QF．
    ∵DQ=2t-4，DF=AD=4，
    ∴QF=4-DQ=8-2t，
    ∴QM=
    		2
    2
    （8-2t）．
    又AP=2AB-
    		2
    t=4
    		2
    -
    		2
    t，
    ∴S△APQ=
    1
    2
    AP•QM=
    1
    2
    （4
    		2
    -
    		2
    t）•
    		2
    2
    （8-2t）=1
    ∴（4-t）2=1，
    ∵2＜t≤3，
    ∴4-t=1，
    ∴t=3，
    故当t=1和3时，S△ABE：S△APQ=4：3．
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知△ABC内接于半径为4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的长分别是抛物线y=x2+2mx+m2-9与x轴的两个交点的横坐标．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且顶点纵坐标为
    9
    2
    ，这个二次函数的解析式______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=-
    1
    12
    x2+
    2
    3
    x+
    5
    3
    ，则该运动员此次掷铅球的成绩是______m．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．
    （1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
    （2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
    （3）当0＜t＜
    9
    2
    时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
    （4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P（1，0）为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点，点C的坐标为（0，
    		3
    ）．
    （1）直接写出A、B、D三点坐标；
    （2）若抛物线y=x2+bx+c过A、D两点，求这条抛物线的解析式，并判断点B是否在所求的抛物线上，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=ax2-x-
    3
    2
    与x轴正半轴交于点A（3，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．
    （1）求a的值；
    （2）求点F的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．那么使得M=1的x值为______．

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