Question

16．已知，如图，点D在射线AB上，且AD=2，点P是射线AC上的一个动点，线段PD的垂直平分线与射线AC交于点E，与∠BAC的平分线交于点F．连结DF、PF、EF．
（1）当DF∥AC时，求证：AD=PF．
（2）当∠BAC=60°时，设AP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠BAF=∠FAC，由平行线的性质得到∠DAF=∠FAC，等量代换得到∠DAF=∠DFA，由等腰三角形的判定得到AD=DF，由EF垂直平分DP，得到DF=PF，等量代换即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AC于G，FH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到FH=FG，由∠BAC=60°，得到∠FAC=30°，根据直角三角形的性质得到FG=$\frac{1}{2}$AF，AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，同理FH=$\frac{1}{2}$AF，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，由EF垂直平分DP，得到FD=FP，推出Rt△FDH≌Rt△FPG，根据全等三角形的性质得到PG=DH，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠FAC，
∵DF∥AC，
∴∠DAF=∠FAC，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵EF垂直平分DP，
∴DF=PF，
∴AD=PF；

（2）过点F作FG⊥AC于G，FH⊥AB于H，
∵AF平分∠BAC，FG⊥AC，FH⊥AB，
∴FH=FG，∵∠BAC=60°，
∴∠FAC=30°，
∴FG=$\frac{1}{2}$AF，AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，
同理FH=$\frac{1}{2}$AF，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，
∵EF垂直平分DP，
∴FD=FP，
在Rt△FDH与Rt△FPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=FP}\\{FH=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△FDH≌Rt△FPG，
∴PG=DH，
∵AD=2，AP=x，AF=y，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$y-2），
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．